近日，北京大学物理量子材料科学中心陈昱安课题组与普林斯顿高等研究院小林良平、伦敦国王辛柏伸合作，在晶格上的广义统计微观定义方面取得重要进展。研究团队首次提出了一套适用于任意空间维度与任意激发维数的方法，系统计算粒子、环（loop）和膜（membrane）等多种拓扑激发的统计性质，并揭示其与高阶对称性’t Hooft反常及量子多体动力学之间的深刻联系。相关成果以《晶格上的广义统计》（“Generalized Statistics on Lattices”）为题，发表在《物理评论X》（Physical Review X）上。

理解准粒子及高维拓扑激发的统计性质，是凝聚态物理、高能物理与量子信息中的核心问题。在二维体系中，任意子统计奠定了分数量子霍尔效应和拓扑量子计算的理论基础，图1展示了两个任意子的交换统计过程；而在三维及更高维体系中，自然出现的线状与面状激发，其统计行为不仅影响规范理论中的禁闭机制，也直接决定高维拓扑量子码的逻辑算符结构。然而，与二维任意子相比，如何在晶格模型中定义这些高维激发普适、可计算的统计量，持久以来缺乏统一框架。

图1 粒子激发在2+1维时空的统计过程。U_ij表示将粒子从位置i移到位置j的算符

针对这一关键问题，研究团队从微观晶格算符与局域幺正演化出发，发展了一种全新的理论方案。该方法将统计过程理解为一系列精心构造的局域幺正算符序列，其多体贝里相位即对应物理上可观测的统计不变量。通过系统分析局域性所施加的约束条件并借助史密斯标准型（Smith normal form）这一代数工具，研究团队实现了统计过程的自动生成，无需额外的物理假设，从而建立起一个通用于任意维度、任意阿贝尔激发的晶格层面的统计理论框架。

在这一框架下，传统粒子交换统计被自然地统一进来，同时还系统揭示了以往难以刻画的多种新现象，包括环-环融合统计、膜-膜融合统计以及不同维度激发之间的互统计行为。例如图2展示了环激发在三维空间的统计量算符，图3展示了环激发与膜激发在三维空间的互统计量算符。研究表明，这些广义统计量均取离散量子化数值，为复杂拓扑相的分类提供了可操作工具。

图2 环激发在三维空间的翻转过程。U_0ij和U_0ij^-1表示发生或湮灭<0ij>环激发的算符（0点为四面体1234的中心点）

图3 环激发与膜激发在三维空间的互统计示意图与广义统计量算符。U_f表示在绿色面边缘发生环激发的算符，U_t1和U_t2分别表示在蓝色和红色四面体表面发生膜激发的算符，[A, B]= A^-1B^-1AB为对易子

该工作在概念层面上建立了晶格广义统计与广义对称性’t Hooft反常之间的一一对应关系。研究发现，每一个非平庸的统计不变量都可视为相应广义对称性的反常指标：一方面，它阻碍了该对称性的规范化；另一方面，它严格排除了任何保持对称性的短程纠缠基态的存在。这一结果将Lieb–Schultz–Mattis定理的思想推广至更高形式对称性与更一般的晶格体系，为理解量子多体系统中反常约束与动力学提供了统一视角。

论文中还通过多个具体模型展示了广义统计如何在有限晶格上被显式计算，并与高维群上同调分类结果精确吻合。这不仅验证了理论框架的自洽性，也为今后在拓扑物态、高维量子码以及量子模拟中的应用奠定了坚实基础。

在该项研究中，小林良平、北京大学物理量子材料科学中心博士生李雨阳、麻省理工物理系博士生薛寒玉为共同第一作者，陈昱安与辛柏伸为共同通讯作者。研究工作得到了国家自然科学基金委员会及北京大学的经费支持。